Задание ЕГЭ-10. Кодирование данных

Ольга составляет 5-буквенные коды из букв О, Л , Ь , Г , А. Каждую букву нужно использовать ровно 1 раз, при этом Ь нельзя ставить первым и нельзя ставить после гласной. Сколько различных кодов может составить Ольга?

Решение:

  • сначала найдём общее количество возможных слов, а затем вычтем из него количество «запрещённых» слов – тех, которые начинаются на букву Ь или содержат комбинации ЬУ и ЬА.
  • сначала найдём общее количество слов, не накладывая никаких ограничений; есть 5 способов выбрать первую букву, 4 способа выбрать вторую и т.д.,  общее количество вариантов равно   5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.
  • первой буквой не может быть Ь, это исключает 1 × 4 × 3 × 2 × 1 = 24 варианта.
  • теперь определим, сколько слов содержит запрещённую комбинацию символов ЬУ; эта комбинация может располагаться на одной из 4-х позиций:

ЬУ***, *ЬУ**, **ЬУ*, ***ЬУ

для каждого случая количество вариантов распределения остальных букв равно 3 × 2 × 1 = 6 варианта, то есть запрет сочетания ЬУ исключает 4 × 3 × 2 × 1 = 24 варианта.

  • аналогично запрет сочетания ЬА исключает ещё 24 варианта.
  • таким образом, из 120 слов запрещёнными являются 24 варианта с первой буквой Ь, 24 варианта, содержащие ЬУ, и 24 варианта, содержащие ЬА
  • остаётся 120 – 3 × 24 = 48 кодов.

Ответ: 48.