Ольга составляет 5-буквенные коды из букв О, Л , Ь , Г , А. Каждую букву нужно использовать ровно 1 раз, при этом Ь нельзя ставить первым и нельзя ставить после гласной. Сколько различных кодов может составить Ольга?
Решение:
- сначала найдём общее количество возможных слов, а затем вычтем из него количество «запрещённых» слов – тех, которые начинаются на букву Ь или содержат комбинации ЬУ и ЬА.
- сначала найдём общее количество слов, не накладывая никаких ограничений; есть 5 способов выбрать первую букву, 4 способа выбрать вторую и т.д., общее количество вариантов равно 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.
- первой буквой не может быть Ь, это исключает 1 × 4 × 3 × 2 × 1 = 24 варианта.
- теперь определим, сколько слов содержит запрещённую комбинацию символов ЬУ; эта комбинация может располагаться на одной из 4-х позиций:
ЬУ***, *ЬУ**, **ЬУ*, ***ЬУ
для каждого случая количество вариантов распределения остальных букв равно 3 × 2 × 1 = 6 варианта, то есть запрет сочетания ЬУ исключает 4 × 3 × 2 × 1 = 24 варианта.
- аналогично запрет сочетания ЬА исключает ещё 24 варианта.
- таким образом, из 120 слов запрещёнными являются 24 варианта с первой буквой Ь, 24 варианта, содержащие ЬУ, и 24 варианта, содержащие ЬА
- остаётся 120 – 3 × 24 = 48 кодов.
Ответ: 48.